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黃金分割與分形幾何


一、無所不在的黃金分割


   
黃金分割是我們在初中學習平面幾何的時候就接觸到的知識。設線段AB 長度為1,在上面取一點C 使得AC/BC = AB/AC ,C點被稱為線段AB的“黃金分割”點。
設AC 部分長為X,則x/(1-x)=1/x,即x^2+x-1 =0 。解這個方程得:

   
    x=(-1±√5)/2。因為X>0,所以x=(-1+√5)/2≈0.618,
1/x=(1+√5)/2≈1.618

    這兩個數就是自然界普遍存在的“黃金分割”數。

《達芬奇密碼》中反復提到的斐波那契數列:1,1,2,3,5,8,13,21,34……,其特點為數列中每一項為前兩項之和,即

    A(n+1)=A(n)+A(n-1),n≥2

   
這個數列廣泛存在于自然界中。
樹枝上的分枝數,大多數花的花瓣都是斐波那契數列中的數:例如百合為3,梅花5,桔梗常為8,金盞花13…等等,玫瑰更是按著斐波那契數列由內而外排列。斐波那契數列也出現在松果上。如上圖右,一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺旋線排列:一組呈順時針螺旋,另一組為逆時針螺旋,順時針螺旋的排列數目是8,而逆時針螺旋方向則為13。向日葵也是一樣(上圖左),常見的螺旋線數目為34及55,較大的向日葵的螺旋線數目為89 及144,更大的甚至還有144 及233,這些全都是斐波那契數列中相鄰兩項的數值。

那么斐波那契數列和黃金分割有什么聯系呢?用數列中任意一項比上前一項,1/1 = 1,2/1 = 2,3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666……, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 =1.61538……我們發現項數越大,這個比值越接近黃金數1.618。


   
除了植物世界外,在動物世界甚至我們人體本身中,黃金分割更是不斷地出現。從外觀上看大多出現在動物的形體中。
人四肢后肢與前肢的比,身高與肚臍到腿之間距離的比,甚至手指每一節骨頭與后面一節骨頭的比,都接近黃金數1.618。芭蕾舞演員顛起腳尖跳舞,就是為了讓身體的比例更接近黃金分割。小說中提到的達?芬奇作品《維特魯維人》,就是他嚴格按照人體的黃金分割比例繪制成的。


黃金分割在自然界和人體中如此廣泛地存在,因此成為人類潛意識中的審美標準,成為了人類藝術的寵兒。繪畫和照片中如果把主要景物放在黃金分割位置,將給人一種最美的視覺感受。從古至今許多建筑有遵循著黃金分割的規律,包括金字塔的斜面三角形高與底面半邊長之比,雅典神廟和巴黎圣母院的外觀,甚至像東方明珠一樣許許多多電視塔的觀光層位置,都利用黃金分割比給人以美的享受。

    黃金分割有一種幾何上的自相似性,部分與部分的比等于部分與整體的比,等于整體與更大整體的比……20 世紀70年代,數學家曼德勃羅(Benoit Mandelbrot)提出了“分形”的概念,用來描述自相似性,并首先引入了“分數維”的概念。

二、分形幾何學

分形概念最早出現于Mandelbrot 對海岸線測量問題的研究中。

對于謀國家海岸線這種不規則圖形,如果選取的測量尺度不一樣,測量結果將相差甚遠。當選擇測量尺度很大時,細小的地方沒有測量,得到的值會比較小。而用小尺度測量,得到的結果會大得多。用的尺度越小,得到的值將越大。也就是說,現實中這種復雜的不規則邊界的圖形,沒有準確的周長。隨著測量尺度的減小它的周長將趨于無窮。如果這種不規則邊界呈現出一種小尺度和大尺度相似的特征,并且無限細分下去都存在這種自相似性,我們稱這種幾何形狀為“分形”。

    Koch 曲線就是在一個等邊三角形一條邊上截取中間1/3邊長,生成新的等邊三角形,然后一直一層一層無限生成下去。

   
定量描述分形結構,需要引入“分數維”這個超越人類整數維思維的概念。我們知道,線的維度是一維,平面維度為二維,立體為三維,物理學中最有希望統一所有基本粒子及其相互作用的理論——超弦理論需要在更高維度的空間中建立,我們暫且不去討論它。

    就維度性質而言,1 維相對于2 維來說,是在一個維度上與其相同,在另一個維度上值為無限小,。因此在2維平面內無限區域一條無限長的直線,他的維度是1。同理如果2維平面內一個有限區域內一條線的維度為1,它必須是一個有限長的線段,這樣才能保證它另一個維度值為無限小。那么如果一條無線長的線束縛在平面上一個有限的區域內,另一個維度的值不再是無限小,它的維度將大于1,但是這條無線長的線并沒有填滿一個平面,因此它的維度也小于2,一維分形就是這樣一個束縛在有限平面區域內無限長的線,它的維度是介于1和2 之間的分數維度。

   
分形維度計算法則:倍形法
這是計算分形維數一個最簡單有效的方法,讀者可以利用它來計算相對簡單規則的分形維數。另S為分形的一個層次結構單元邊長,ε為上一層次分形結構長度和S 的比值,若令上一層次邊長為單位長度1,則ε=1/s,N(ε)為層次分形結構內包含邊長S層次結構單元的數目,那么分形維度的計算公式為:D=ln(N(ε))/ln(ε)  稱為豪道夫數


   
三, “黃金分割”的分形解密

    科學家們經過廣泛計算,發現自然界的一維分形維度大多集中在1.6—1.7 附近,這讓人很自然想起神秘的黃金分割率“1.618”。理論上講,一維分形分數維度可以有無窮多個取值,但自然卻唯獨偏愛這些近似黃金分割的這些取值,這跟黃金分割本身又有什么內在聯系呢?


黃金分割實際上是一種特殊的自相似結構,如果把一條線段AB 連接上它的黃金分割線段BC=0.618…×AB 排列,BC再連接CD=0.618…×BC,無限下去,用等比數列求和公式很容易證明,線段的總長度為AB乘上黃金分數,即1.618…×AB。黃金分割充分體現了部分和整體“依次排列”的自相似性。

    這種長邊與短邊比值是黃金數1.618…的矩形稱為黃金矩形,是黃金分割自相似性最好的體現。矩形內截取掉一個正方形,剩下的小矩形仍然為黃金矩形。依次無限截取下去,會獲得鄰近邊長比為黃金數,并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果將這些正方形內的1/4圓弧連接起來,會構成一個平滑的自相似螺旋,即黃金螺旋。

   
黃金螺旋便是一個典型的一維分形,我們大致計算一下它的分形維度。用上節提到的取格法,將黃金矩形分成8×8=64個小的黃金矩形。一般情況下自然界的黃金螺旋有一定粗細,上面有更細微的分形結構,基本能占滿它所經過的小格,因此將包含黃金螺旋和與之相切的方格都納入其中,數得,N(ε)=29,因此有一定粗細的黃金螺旋分形維度為

    ln 29/ln8=1.619327....,很接近黃金數1.618。
生物界中螺旋形狀大多為近似的黃金螺旋——如海螺殼,海馬的尾巴,植物葉子,花和果實表面排列等等。

                          
   
通過研究海螺發現,用一條直線穿過它的螺旋中心,這條直線上它的螺旋相鄰圈粗細比值很接近黃金分割,那么為什么自然界中的螺旋傾向于選擇黃金螺旋呢?我們從圖10的黃金矩形出發,將黃金矩形每一個小矩形沿對角線向外移動1/2個邊長,依次類推,如圖12,這些黃金矩形會圍成一個基本填滿平面區域的螺旋,可證明,任何其他矩形以這種方式自相似排列,都會重疊或者在平面上留下很大縫隙。只有黃金矩形會趨向于排滿平面。

    黃金矩形的排列可看成黃金螺旋的離散化,如果將其收縮邊緣連續起來,就會出現海螺的那種布滿整個平面區域的黃金螺旋。也就是說,只有黃金螺旋這種“依次排列”的自相似才會占滿平面區域。伸出自己的左手與紙面垂直,然后握拳,看一下你的食指圍成的螺旋是不是和圖12很像?人體眾多骨骼之所以被各個關節黃金分割,正是由于這些骨骼能夠圍成這種螺旋形狀。
人體處于黃金分割的關節都是能夠蜷縮的位置,如手指骨節,肘部,膝蓋,頸部,腰腹等等(身體蜷縮時候,蜷縮點位于人體黃金分割——肚臍處),許多哺乳動物關節都具有這種特點,這都是生物經過幾十億年進化的結果,能讓身體和四肢完全地蜷縮來抓住東西和自我保護,因此生物界選擇了這種沒有縫隙的蜷縮——黃金螺旋。


將一個圓周進行黃金分割,它的短弧所對應的角度成為“黃金角”,即360×(1-0.618…)≈137.5°    將黃金螺旋上取距離相等的一系列點,發現點于點連線之間的夾角(發散角)都為黃金角。計算機模擬結果可看出,發散角為137.4°和137.6°的螺旋都無法填滿平面,而恰好發散角為137.5°的黃金螺旋可以填滿平面,做到點于點之間距離相等。向日葵和菊花都滿足這樣的排布,這樣可以使單位面積內花瓣或種子排列數目最多。

    除了黃金螺旋之外,生物界其他的分形大多遵循黃金分割原則,其分形維數也很接近黃金數1.618…
如樹的生長。按照黃金分割比例生長樹枝和樹葉,會使單位面積接收到最多的陽光,其原理與黃金螺旋相似,即能夠布滿平面的分形結構。

從上面幾個例子的分析可以看出,“黃金分割”這種分形是生物進化的一個“極值”,是生物界自然選擇的結果。目前的研究發現,不僅僅是生物界,在自然界很多領域都存在這種自相似倍數為黃金數的分形,諸如一些準晶體結構,高分子,太陽系間行星距離,海浪漩渦等等,都是黃金螺旋分形。


分形大多以黃金分割為原則這是自然界的重要現象。

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